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<!DOCTYPE html>

<title>Hydrostatik</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Hydrostatik</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>Hydrostatik</b> ist die Lehre von <a href="Fl%C3%BCssigkeit" title="Flüssigkeit">Flüssigkeiten</a>, die in einem ruhenden oder bewegten <a href="Bezugssystem" title="Bezugssystem">Bezugssystem</a>, in dem die Betrachtungen durchgeführt werden, in Ruhe sind.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>1.1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Die Hydrostatik ist das Teilgebiet der <a href="Fluidstatik" title="Fluidstatik">Fluidstatik</a>, das die tropfbaren Fluide mit geringer und vernachlässigbarer <a href="Kompressibilit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Kompressibilität">Kompressibilität</a> behandelt.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>2.1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften_von_ruhenden_Flüssigkeiten"><span id="Eigenschaften_von_ruhenden_Fl.C3.BCssigkeiten"></span>Eigenschaften von ruhenden Flüssigkeiten</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Fluidstatik#Eigenschaften_von_Fluiden" title="Fluidstatik">Fluidstatik#Eigenschaften von Fluiden</a></i></div>

<p>Die im Hauptartikel beschriebenen Eigenschaften von Flüssigkeiten werden hier nur aufgelistet.

</p><p>Flüssigkeiten

</p>

<ul><li>sind im <i>flüssigen <a href="Aggregatzustand" title="Aggregatzustand">Aggregatzustand</a></i>,</li>

<li>bilden Grenzflächen aus gegenüber <a href="Festk%C3%B6rper" title="Festkörper">Festkörpern</a>, Gasen und Flüssigkeiten, mit denen sie sich nicht vermischen, wobei

<ul><li><a href="Freie_Oberfl%C3%A4che_(Str%C3%B6mungslehre)" title="Freie Oberfläche (Strömungslehre)">Freie Oberflächen</a> Grenzflächen zu einem Gas und</li>

<li><i>Trennflächen</i> Grenzflächen zwischen zwei sich nicht mischenden Flüssigkeiten sind,</li></ul></li>

<li>besitzen eine <a href="Oberfl%C3%A4chenspannung" title="Oberflächenspannung">Oberflächenspannung</a> und sind dadurch, im Gegensatz zu Gasen, tropfbar,</li>

<li>setzen einer <a href="Isochore_Zustands%C3%A4nderung" title="Isochore Zustandsänderung">volumenerhaltenden</a> <a href="Verformung" title="Verformung">Formänderung</a> so gut wie keinen Widerstand entgegen und</li>

<li>haben im Vergleich zu <a href="Gas" title="Gas">Gasen</a> eine geringere <a href="#Kompressibilität">#Kompressibilität</a><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>2.2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> und höhere <a href="Dichte" title="Dichte">Dichte</a>.</li></ul>

<p>Ruhende Flüssigkeiten

</p>

<ul><li>passen sich jeder Gefäßform an,</li>

<li>bilden aufgrund der <a href="Oberfl%C3%A4chenspannung" title="Oberflächenspannung">Oberflächenspannung</a> an den Rändern einer freien Oberfläche <a href="Meniskus_(Hydrostatik)" title="Meniskus (Hydrostatik)">Menisken</a> aus (sofern die freie Oberfläche im Vergleich zu den Menisken groß ist, können diese vernachlässigt werden; andernfalls ist <a href="Kapillareffekt" title="Kapillareffekt">Kapillarität</a> zu berücksichtigen),</li>

<li>sind im <a href="Hydrostatischer_Spannungszustand" class="mw-redirect" title="Hydrostatischer Spannungszustand">hydrostatischen Spannungszustand</a>, d. h. der Druck ist ein <a href="Skalar_(Physik)" class="mw-redirect" title="Skalar (Physik)">Skalar</a>, richtungsunabhängig und nur eine Funktion des Ortes,<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>2.3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li>

<li>besitzen eine allenfalls ortsabhängige aber nicht zeitabhängige Dichte,<sup id="cite_ref-2-1" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>1.1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> die im homogenen <a href="Schwerefeld" title="Schwerefeld">Schwerefeld</a> auf <a href="Niveaumenge" title="Niveaumenge">Niveauflächen</a> des Drucks (<a href="Isobare" title="Isobare">Isobaren</a>) konstant ist,<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>3.1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> und</li>

<li>weisen auf einer Trennfläche zwischen zwei Flüssigkeiten verschiedener Dichte einen überall gleichen Druck auf, und die Schichtung ist stabil, wenn die Flüssigkeit mit der geringeren Dichte über der mit der größeren Dichte liegt.<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>3.2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Druck_in_ruhenden_Flüssigkeiten"><span id="Druck_in_ruhenden_Fl.C3.BCssigkeiten"></span>Druck in ruhenden Flüssigkeiten</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Hydrostatischer_Druck" title="Hydrostatischer Druck">Hydrostatischer Druck</a></i></div>

<p>Der <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a> in einer ruhenden Flüssigkeit ist an einem Punkt in allen Richtungen gleich groß. Ohne volumenverteilte Kräfte wie die <a href="Schwerkraft" class="mw-redirect" title="Schwerkraft">Schwerkraft</a> ist der Druck überall gleich und der Druck<a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">gradient</a> der <a href="Nullvektor" title="Nullvektor">Nullvektor</a>. Wirkt nur die Schwerkraft, so entspricht der Schweredruck (auch hydrostatischer Druck) der Summe aus dem (Atmosphären-)Druck an der freien Oberfläche und dem sich durch die <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> der Flüssigkeitssäule über dem betrachteten Punkt ergebenden Druck. Der Schweredruck ist nur von der Tiefe, nicht jedoch von der Gefäßform abhängig. Dies wird als <a href="Hydrostatisches_Paradoxon" title="Hydrostatisches Paradoxon">hydrostatisches Paradoxon</a> bezeichnet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kompressibilität"><span id="Kompressibilit.C3.A4t"></span>Kompressibilität</h3></div>

<p>Flüssigkeiten werden meist als quasi inkompressibel angenommen<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>2.4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, weil sie in Ruhe bei kleinen Drücken (≤ 500 <a href="Bar_(Einheit)" title="Bar (Einheit)">bar</a>) nur wenig kompressibel sind.

</p><p>Denn ihr <a href="Kompressionsmodul" title="Kompressionsmodul">Kompressions-</a> oder Volumen-<a href="Elastizit%C3%A4tsmodul" title="Elastizitätsmodul">Elastizitätsmodul</a> <i>K</i> ist im Vergleich zu Gasen groß. Der Modul gibt das Verhältnis zwischen Druckänderung d<i>p</i> und <a href="Volumendehnung" title="Volumendehnung">Volumendehnung</a> d<i>v</i>/V an:

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K:=-{\frac {\mathrm {d} p}{\frac {\mathrm {d} {\mathsf {v}}}{\mathsf {V}}}}=-{\frac {{\mathsf {V}}\mathrm {d} p}{\mathrm {d} {\mathsf {v}}}}={\frac {1}{\kappa }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c9f36d4177f1bbaf28a818bef472e2feb39cb01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:25.992ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle K:=-{\frac {\mathrm {d} p}{\frac {\mathrm {d} {\mathsf {v}}}{\mathsf {V}}}}=-{\frac {{\mathsf {V}}\mathrm {d} p}{\mathrm {d} {\mathsf {v}}}}={\frac {1}{\kappa }}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Das Minuszeichen ist Konvention: Der Kompressionsmodul <i>K</i> ist positiv, wenn das Volumen v unter steigendem Druck <i>p</i> abnimmt; V ist ein Referenzvolumen. Die <a href="Kompressibilit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Kompressibilität">Kompressibilität</a> <i>κ</i> ist der Kehrwert des Kompressionsmoduls. Der Kompressionsmodul von Flüssigkeiten ist kleiner als der der meisten Festkörper. Wasser besitzt beispielsweise den Kompressionsmodul <i>K</i> ≈ 2000 <a href="Megapascal" class="mw-redirect" title="Megapascal">MPa</a> = 20.000 <a href="Bar_(Einheit)" title="Bar (Einheit)">bar</a> und der von <a href="Stahl" title="Stahl">Stahl</a> ist mit 160.000 MPa achtzigmal so groß. Die Tabellen enthalten Anhaltswerte für Wasser und andere Flüssigkeiten.<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>2.5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<td colspan="2">Volumen-Elastizitätsmodul <i>K</i> von Wasser bei verschiedenen Drücken

</td></tr>

<tr>

<th width="100em">Druck [bar]</th>

<th width="70em"><i>K</i> [bar]

</th></tr>

<tr>

<td>

<td width="40px">50

</td></tr></tbody></table>

</td>

<td>20.400

</td></tr>

<tr>

<td>

<td width="40px">100

</td></tr></tbody></table>

</td>

<td>21.740

</td></tr>

<tr>

<td>

<td width="40px">200

</td></tr></tbody></table>

</td>

<td>22.220

</td></tr>

<tr>

<td>

<td width="40px">300

</td></tr></tbody></table>

</td>

<td>22.730

</td></tr>

<tr>

<td>

<td width="40px">500

</td></tr></tbody></table>

</td>

<td>23.810

</td></tr>

<tr>

<td>

<td width="40px">1000

</td></tr></tbody></table>

</td>

<td>26.320

</td></tr>

<tr>

<td>

<td width="40px">2000

</td></tr></tbody></table>

</td>

<td>30.300

</td></tr>

<tr>

<td>

<td width="40px">3000

</td></tr></tbody></table>

</td>

<td>37.040

</td></tr>

<tr>

<td>

<td width="40px">5000

</td></tr></tbody></table>

</td>

<td>41.670

</td></tr></tbody></table>

<td colspan="2">Kompressibilität <i>κ</i> verschiedener Flüssigkeiten bei 20 °C und 1 bar Anfangsdruck

</td></tr>

<tr>

<th width="10em">Flüssigkeit</th>

<th width="10em"><i>κ</i> [bar<sup>−1</sup>]

</th></tr>

<tr>

<td><a href="Ethanol" title="Ethanol">Ethanol</a></td>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Glyzerin" class="mw-redirect" title="Glyzerin">Glyzerin</a></td>

</td></tr>

<tr>

<td>Maschinenöl</td>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Quecksilber" title="Quecksilber">Quecksilber</a></td>

</td></tr>

<tr>

<td>Wasser</td>

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Freie_Oberflächen"><span id="Freie_Oberfl.C3.A4chen"></span>Freie Oberflächen</h2></div>

<p>Der <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a> über freien Oberflächen von Flüssigkeiten ist durch ihren stoff- und temperaturabhängigen <a href="Dampfdruck" title="Dampfdruck">Dampfdruck</a> nach unten begrenzt.<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>2.6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Der Innendruck an einer wenig gekrümmten freien Oberfläche ist gleich dem Außendruck. Sofern dieser (näherungsweise) gleichverteilt ist, ist eine freie Oberfläche eine Fläche konstanten Drucks (<a href="Isobare" title="Isobare">Isobare</a>) und damit senkrecht zum Druck<a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">gradient</a>.

</p><p>Auf der Erdoberfläche ist die <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> zum Erdmittelpunkt gerichtet. Freie Oberflächen von ruhenden Gewässern sind Kugelflächenausschnitte von annäherndem Erdradius mit zum Erdmittelpunkt gerichteten Normalen. Bei kleiner Ausdehnung stellen freie Oberflächen ruhender Flüssigkeiten praktisch waagrechte Ebenen dar.<sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite-bracket">[</span>2.7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>In Abwesenheit von äußeren Kräften, wie beispielsweise in der <a href="Schwerelosigkeit" title="Schwerelosigkeit">Schwerelosigkeit</a> oder im <a href="Freier_Fall" title="Freier Fall">freien Fall</a>, strebt eine Flüssigkeit aufgrund ihrer <a href="Oberfl%C3%A4chenspannung" title="Oberflächenspannung">Oberflächenspannung</a> eine <a href="Kugel" title="Kugel">kugel</a>förmige Gestalt an. Der Druck in der Flüssigkeit ist durch die Oberflächenspannung um eine Differenz erhöht, die umgekehrt proportional zum Radius der Kugel ist, siehe <a href="Young-Laplace-Gleichung" title="Young-Laplace-Gleichung">Young-Laplace-Gleichung</a>. An kleinen Oberflächen bilden sich <a href="Meniskus_(Hydrostatik)" title="Meniskus (Hydrostatik)">Menisken</a> aus und ist <a href="Kapillareffekt" title="Kapillareffekt">Kapillarität</a> zu berücksichtigen.

</p><p>Eine freie Oberfläche wird in einer <a href="Technische_Zeichnung" title="Technische Zeichnung">technischen Zeichnung</a> durch ein <a href="Gleichseitiges_Dreieck" title="Gleichseitiges Dreieck">gleichseitiges Dreieck</a> gekennzeichnet (<span style="text-decoration:underline"> ▽ </span>), das mit einer Ecke auf der Oberfläche aufsitzt.<sup id="cite_ref-13-1" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite-bracket">[</span>2.7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hydrostatische_Grundgleichung">Hydrostatische Grundgleichung</h3></div>

<p>Die hydrostatische Grundgleichung beschreibt den Druckverlauf über die Tiefe in der Flüssigkeit. Die <a href="Fluidstatik#Grundgesetz_in_differentieller_Form" title="Fluidstatik">Grundgleichung in differentieller Form</a> lautet

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial {\mathsf {h}}}}=\rho g}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2729ee787d0c62cd4226361f3b7a0819fd3db78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.773ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial {\mathsf {h}}}}=\rho g}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Der Druck nimmt demnach proportional zur Dichte <i>ρ</i> und <a href="Schwerebeschleunigung" class="mw-redirect" title="Schwerebeschleunigung">Schwerebeschleunigung</a> <i>g</i> in deren Richtung mit der Tiefe h zu. Ist das Koordinatensystem nicht parallel zur (resultierenden) Beschleunigung ausgerichtet, dann kann die Grundgleichung in jeder Koordinatenrichtung <i>x</i><sub>j</sub> aufgeschrieben werden:<sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite-bracket">[</span>1.2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x_{j}}}=\rho g_{j}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba5283a29f850dda8b14a0153e16dec9ad663108.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:10.713ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x_{j}}}=\rho g_{j}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>oder als koordinatenunabhängige <a href="Vektor" title="Vektor">Vektor</a>gleichung zusammengefasst<sup id="cite_ref-spurk_15-0" class="reference"><a href="#cite_note-spurk-15"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla p=\rho ({\vec {k}}+{\vec {k}}_{f})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4755d4cf9a21380e9614d94b44bc2335ea7e7d30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.614ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \nabla p=\rho ({\vec {k}}+{\vec {k}}_{f})}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>siehe <a href="Fluidstatik#Allgemeine_fluidstatische_Grundgleichung" title="Fluidstatik">Fluidstatik#Allgemeine fluidstatische Grundgleichung</a>. Hier ist noch die <a href="F%C3%BChrungskraft_(Technische_Mechanik)" title="Führungskraft (Technische Mechanik)">Führungskraft</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho {\vec {k}}_{f}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho {\vec {k}}_{f}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63a2437ee3103b666f95e7392573bd47804b53bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.55ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \rho {\vec {k}}_{f}}" loading="lazy"></span> aufgenommen, die als Scheinkraft in <a href="Beschleunigtes_Bezugssystem" title="Beschleunigtes Bezugssystem">beschleunigten Bezugssystemen</a> auftritt.

</p><p>Unter der Annahme der <a href="Inkompressibilit%C3%A4t" title="Inkompressibilität">Inkompressibilität</a> (<i>ρ</i> = konst.)

ergibt sich aus der Grundgleichung in differentieller Form im homogenen Schwerefeld (<i>g</i> = konst.) die modifizierte Grundgleichung:

</p>

<p>mit

</p>

<dl><dd><i>ρ</i>: Dichte der Flüssigkeit</dd>

<dd><i>g</i>: <a href="Schwerebeschleunigung" class="mw-redirect" title="Schwerebeschleunigung">Schwerebeschleunigung</a></dd>

<dd>h: Höhe der Flüssigkeitssäule über dem betrachteten Punkt</dd>

<dd><i>p<sub>0</sub></i>: Druck an der Oberfläche der Flüssigkeitssäule (bei <i>h</i>=0).</dd></dl>

<p>Bezieht man die <a href="#Kompressibilität">#Kompressibilität</a> von Wasser von etwa κ ≈ 5·10<sup>−5</sup>·<a href="Bar_(Einheit)" title="Bar (Einheit)">bar</a><sup>−1</sup> in die Berechnung des Drucks mit ein, ergibt sich das folgende Diagramm:

</p>

<p>In 12.000 m <a href="Bathymetrie" title="Bathymetrie">Tiefe</a> ergäbe sich hiermit, ausgehend von einer Dichte von 1000 kg/m<sup>3</sup> in 0 m Tiefe, eine Abweichung des mit Kompressibilität berechneten, realen Drucks vom idealen von ca. 3,5 %. Hierbei bleiben jedoch weiterhin <a href="W%C3%A4rmeausdehnung" title="Wärmeausdehnung">Temperatureffekte</a> ebenso wie andere Einflüsse unberücksichtigt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gleichmäßig_horizontal_beschleunigte_Flüssigkeit"><span id="Gleichm.C3.A4.C3.9Fig_horizontal_beschleunigte_Fl.C3.BCssigkeit"></span>Gleichmäßig horizontal beschleunigte Flüssigkeit</h3></div>

<p>Betrachtet wird ein gleichmäßig beschleunigter Behälter, in dem sich eine Flüssigkeit befindet, siehe Bild. Im Gleichgewicht sind die Fluidteilchen relativ zueinander in Ruhe, sodass die Gesetze der Fluidstatik anwendbar sind. Die Beschleunigung eines Fluidelements d<i>m</i> ist gleich der Beschleunigung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> des Behälters, weil es sich relativ zu ihm in Ruhe befindet, und von außen wirkt die <a href="Lotrechte" class="mw-redirect" title="Lotrechte">lotrechte</a> <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> <i>g</i>·d<i>m</i>. Im beschleunigten Bezugssystem erscheint die horizontal ausgerichtete <a href="Fluidstatik#Fluidkräfte" title="Fluidstatik">Führungskraft</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -a\cdot \mathrm {d} m}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -a\cdot \mathrm {d} m}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eca0e269149839f925a4f8bc8fcd2f674104e0ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.05ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -a\cdot \mathrm {d} m}" loading="lazy"></span> (Scheinkraft). Zur Resultierenden aus Gewichts- und Führungskraft senkrecht sind die Isobaren, deren <a href="Steigungswinkel" class="mw-redirect" title="Steigungswinkel">Steigungswinkel</a> <i>α</i> sich aus dem <a href="Tangens_und_Kotangens" title="Tangens und Kotangens">Tangens</a> tan des Winkels ergibt:

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a\cdot \mathrm {d} m}{g\cdot \mathrm {d} m}}={\frac {a}{g}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14a0038a367cc3c28547bb826256ebfe454ddec3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.575ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a\cdot \mathrm {d} m}{g\cdot \mathrm {d} m}}={\frac {a}{g}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Beim ruhenden Behälter ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90d476e5e765a5d77bbcff32e4584579207ec7d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=0}" loading="lazy"></span> und die Oberfläche horizontal. Im Fluidkörper bildet sich ein <a href="Hydrostatischer_Druck" title="Hydrostatischer Druck">Hydrostatischer Druck</a> gemäß der resultierenden Beschleunigung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle f={\sqrt {a^{2}+g^{2}}}}">

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle f={\sqrt {a^{2}+g^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1d1325f71d3f1cf787bd61e25339b3966542a34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.998ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle f={\sqrt {a^{2}+g^{2}}}}" loading="lazy"></span> aus.

</p><p>Die Höhe, auf die die Flüssigkeit an der rückwärtigen Behälterwand hochsteigt, ergibt sich aus der Volumenkonstanz. Ist die Behälterwand niedriger, dann läuft die überschüssige Flüssigkeit aus.<sup id="cite_ref-16" class="reference"><a href="#cite_note-16"><span class="cite-bracket">[</span>2.8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Wenn die horizontale Beschleunigung im Vergleich zur Schwerebeschleunigung groß ist, wie beispielsweise in der <a href="Schwerelosigkeit" title="Schwerelosigkeit">Schwerelosigkeit</a>, strebt die Flüssigkeit eine senkrechte Oberfläche an, die sich nur dann einstellen kann, wenn der Behälter oben geschlossen ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Auf_schiefer_Ebene_gleichmäßig_beschleunigte_Flüssigkeit"><span id="Auf_schiefer_Ebene_gleichm.C3.A4.C3.9Fig_beschleunigte_Fl.C3.BCssigkeit"></span>Auf schiefer Ebene gleichmäßig beschleunigte Flüssigkeit</h3></div>

<p>Betrachtet wird ein mit Flüssigkeit befüllter Behälter, der eine schiefe Ebene hinab gleitet, siehe Bild. Auch dieser Fall kann mit Mitteln der Fluidstatik behandelt werden,<sup id="cite_ref-17" class="reference"><a href="#cite_note-17"><span class="cite-bracket">[</span>1.3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> d. h. davon ausgegangen werden, dass die Flüssigkeit im Behälter ruht. Wenn der Behälter mit Flüssigkeit die Masse <i>m</i> hat, wirkt auf ihn die Kraft <i>mg</i>·<a href="Sinus_und_Cosinus" class="mw-redirect" title="Sinus und Cosinus">sin</a><i>θ−f</i> hangabwärts parallel zur Ebene, wobei <i>f</i> auf Reibung zurückgeht und zunächst unbestimmt bleibt. In horizontaler x-Richtung (nach links im Bild) wirkt das <a href="Sinus_und_Cosinus" class="mw-redirect" title="Sinus und Cosinus">cos</a><i>θ</i>-fache dieser Kraft und in vertikaler z-Richtung (nach oben im Bild) das −sin<i>θ</i>-fache. Aus dem <a href="Zweites_newtonsches_Axiom" class="mw-redirect" title="Zweites newtonsches Axiom">zweiten newtonschen Gesetz</a> „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ ergeben sich die Beschleunigungen (zweifache <a href="Zeitableitung" title="Zeitableitung">Zeitableitungen</a> angezeigt durch die <a href="%C3%9Cberpunkt#Als_wissenschaftliches_Symbol" title="Überpunkt">aufgesetzten Punkte</a>):

</p>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}m{\ddot {x}}=&(mg\sin \theta -f)\cos \theta \\m{\ddot {z}}=&(f-mg\sin \theta )\sin \theta \\\rightarrow {\ddot {\vec {x}}}:=&{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {z}}\end{pmatrix}}=(g\sin \theta -f/m){\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{pmatrix}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d025d7f5d454318dc29b4eca1c2c9a8122c2f0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:42.419ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}m{\ddot {x}}=&(mg\sin \theta -f)\cos \theta \\m{\ddot {z}}=&(f-mg\sin \theta )\sin \theta \\\rightarrow {\ddot {\vec {x}}}:=&{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {z}}\end{pmatrix}}=(g\sin \theta -f/m){\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{pmatrix}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Der Beschleunigungs<a href="Vektor" title="Vektor">vektor</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}}">

<mover>

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</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c1356465305a4a276c9c366c4f9ee08ce05f3bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}}" loading="lazy"></span> ist hangabwärts gerichtet. Die <a href="Reibungskoeffizient#Berechnung_der_Reibungskraft" title="Reibungskoeffizient">Reibkraft</a> <i>f</i> ist proportional zur <a href="Normalkraft" title="Normalkraft">Normalkraft</a> <i>N=mg·</i>cos<i>θ</i>, sodass <i>f=μmg·</i>cos<i>θ</i> mit <a href="Reibkoeffizient" class="mw-redirect" title="Reibkoeffizient">Reibkoeffizient</a> <i>μ</i> und

</p>

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}=g(\sin \theta -\mu \cos \theta ){\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{pmatrix}}=g{\begin{pmatrix}(\tan \theta -\mu )\cos ^{2}\theta \\-(\tan \theta -\mu )\sin \theta \cos \theta \end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c01bfeb533f1eb0c32dba2cc284e432c24b2695.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:62.385ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}=g(\sin \theta -\mu \cos \theta ){\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{pmatrix}}=g{\begin{pmatrix}(\tan \theta -\mu )\cos ^{2}\theta \\-(\tan \theta -\mu )\sin \theta \cos \theta \end{pmatrix}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>wird. Diese Beschleunigung ist konstant, sodass die Flüssigkeit im Behälter ruhen kann. Allerdings muss <a href="Tangens_und_Kotangens" title="Tangens und Kotangens">tan</a><i>θ</i> größer als der Reibkoeffizient sein, denn sonst tritt <a href="Haftreibung" title="Haftreibung">Haftreibung</a> ein und der Behälter bleibt stehen.

</p><p>Auf die im Behälter ruhende Flüssigkeit kann die <a href="Fluidstatik#Allgemeine_fluidstatische_Grundgleichung" title="Fluidstatik">allgemeine fluidstatische Grundgleichung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla p=\rho ({\vec {k}}+{\vec {k}}_{f})}">

<mover>

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<msub>

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</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla p=\rho ({\vec {k}}+{\vec {k}}_{f})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4755d4cf9a21380e9614d94b44bc2335ea7e7d30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.614ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \nabla p=\rho ({\vec {k}}+{\vec {k}}_{f})}" loading="lazy"></span> im mitbewegten Bezugssystem angewendet werden. Dort ist der Druckgradient 𝜵<i>p</i> gleich der Summe aus der volumenverteilten Schwerkraft und der volumenverteilten Scheinkraft. Neben der <a href="Schwerkraft" class="mw-redirect" title="Schwerkraft">Schwerkraft</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho {\vec {k}}=-\rho g{\hat {e}}_{z}}">

<mover>

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<msub>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho {\vec {k}}=-\rho g{\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2e945e393bea99ca7fddc6554ceb8500d298781.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.931ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \rho {\vec {k}}=-\rho g{\hat {e}}_{z}}" loading="lazy"></span> ist im beschleunigten Bezugssystem die <a href="F%C3%BChrungskraft_(Technische_Mechanik)" title="Führungskraft (Technische Mechanik)">Führungskraft</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho {\vec {k}}_{f}=-\rho {\ddot {\vec {x}}}}">

<msub>

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</msub>

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</mrow>

</mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho {\vec {k}}_{f}=-\rho {\ddot {\vec {x}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87cbdaed378cf77c82cf8e2f2c3c6a657e06467e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.988ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \rho {\vec {k}}_{f}=-\rho {\ddot {\vec {x}}}}" loading="lazy"></span> (Scheinkraft) zu berücksichtigen:

</p>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla p=\rho ({\vec {k}}+{\vec {k}}_{f})=\rho (-g{\hat {e}}_{z}-{\ddot {\vec {x}}})=\rho g{\begin{pmatrix}-(\tan \theta -\mu )\cos ^{2}\theta \\(\tan \theta -\mu )\sin \theta \cos \theta -1\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec0392aa868d4bb181b33b5c4a1b2e320083f7f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:65.288ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \nabla p=\rho ({\vec {k}}+{\vec {k}}_{f})=\rho (-g{\hat {e}}_{z}-{\ddot {\vec {x}}})=\rho g{\begin{pmatrix}-(\tan \theta -\mu )\cos ^{2}\theta \\(\tan \theta -\mu )\sin \theta \cos \theta -1\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Falls <i>μ</i>=tan<i>θ</i>, wo der Behälter stehen bleibt, ist der Druckgradient vertikal und die freie Oberfläche horizontal. In Abwesenheit von Reibung (<i>μ</i>=0) ist der Druckgradient

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla p=\rho g{\begin{pmatrix}-\tan \theta \cos ^{2}\theta \\\tan \theta \sin \theta \cos \theta -1\end{pmatrix}}=\rho g{\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \theta \\\sin ^{2}\theta -1\end{pmatrix}}=-\rho g\cos \theta {\begin{pmatrix}\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8258ecefdacec76f13e4e4653cfc9a18af6e8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:73.285ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla p=\rho g{\begin{pmatrix}-\tan \theta \cos ^{2}\theta \\\tan \theta \sin \theta \cos \theta -1\end{pmatrix}}=\rho g{\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \theta \\\sin ^{2}\theta -1\end{pmatrix}}=-\rho g\cos \theta {\begin{pmatrix}\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>senkrecht zur schiefen Ebene und die freie Oberfläche der Flüssigkeit parallel zu ihr. Ansonsten addiert sich noch der Anteil, der proportional zu <i>μ</i> ist:

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla p=-\rho g\cos \theta {\begin{pmatrix}\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}+\mu \rho g\cos \theta {\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{pmatrix}}=\rho g\cos \theta \left[{\begin{pmatrix}-\sin \theta \\-\cos \theta \end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{pmatrix}}\right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0748e2bab07a47255c6904612ed3deed549e4502.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:85.438ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla p=-\rho g\cos \theta {\begin{pmatrix}\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}+\mu \rho g\cos \theta {\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{pmatrix}}=\rho g\cos \theta \left[{\begin{pmatrix}-\sin \theta \\-\cos \theta \end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{pmatrix}}\right]}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die freie Oberfläche ist hier weniger geneigt als die Ebene.<sup id="cite_ref-18" class="reference"><a href="#cite_note-18"><span class="cite-bracket">[</span>1.4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Weil der Druckgradient nicht ortsabhängig ist, nimmt der Druck linear mit der Tiefe in Richtung des Gradienten zu.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gleichmäßig_rotierende_Flüssigkeit"><span id="Gleichm.C3.A4.C3.9Fig_rotierende_Fl.C3.BCssigkeit"></span>Gleichmäßig rotierende Flüssigkeit</h3></div>

<p>Ein <a href="Zylinder_(Geometrie)" title="Zylinder (Geometrie)">zylinder</a>förmiger Behälter wird bis zur Höhe <i>z</i><sub>0</sub> mit einer Flüssigkeit gefüllt und auf die konstante <a href="Winkelgeschwindigkeit" title="Winkelgeschwindigkeit">Winkelgeschwindigkeit</a> ω gebracht, siehe Bild. Durch die <a href="Viskosit%C3%A4t" title="Viskosität">Viskosität</a> und <a href="Haftbedingung" title="Haftbedingung">Haftbedingung</a> teilt sich die Drehbewegung des Behälters der Flüssigkeit mit und nach hinreichend langer Zeit rotiert sie ebenfalls mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Im mitrotierenden Bezugssystem K’ befindet sich die Flüssigkeit in Ruhe, sodass die Bedingungen der Hydrostatik erfüllt sind.

</p><p>Im Bezugssystem K’ werden <a href="Zylinderkoordinaten" class="mw-redirect" title="Zylinderkoordinaten">Zylinderkoordinaten</a> mit radialer Koordinate <i>r</i> und vertikaler <i>z</i> benutzt, siehe Bild. Auf jedes Fluidelement mit Masse d<i>m</i> wirkt die <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> d<i>G</i>=d<i>m·g</i> in -z-Richtung. Im <a href="Beschleunigtes_Bezugssystem" title="Beschleunigtes Bezugssystem">beschleunigten Bezugssystem</a> K’ ist noch die <a href="Fluidstatik#Fluidkräfte" title="Fluidstatik">Führungskraft</a> d<i>Z</i> zu berücksichtigen, die bei gleichmäßiger Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die ruhende Drehachse gleich der radial auftretenden <a href="Zentrifugalkraft#Formeln" title="Zentrifugalkraft">Zentrifugalkraft</a> ist: d<i>Z</i>=d<i>m·ω<sup>2</sup>·r</i>. An jeder Stelle auf der Oberfläche ist diese senkrecht zur Resultierenden d<i>F</i> der beiden Kräfte d<i>Z</i> und d<i>G</i>, und so ergibt sich

</p>

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\mathrm {d} Z}{\mathrm {d} G}}={\frac {\mathrm {d} m\cdot \omega ^{2}r}{\mathrm {d} m\cdot g}}={\frac {\omega ^{2}r}{g}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf988a60349d099a4abacc25a5202c90caaa16f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:32.267ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\mathrm {d} Z}{\mathrm {d} G}}={\frac {\mathrm {d} m\cdot \omega ^{2}r}{\mathrm {d} m\cdot g}}={\frac {\omega ^{2}r}{g}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Gleichzeitig ist <a href="Tangens_und_Kotangens" title="Tangens und Kotangens">tanα</a> auch die Steigung der Rotationskurve z(r), d. h. der Wert der <a href="Ableitungsfunktion" class="mw-redirect" title="Ableitungsfunktion">Ableitungsfunktion</a> an der betrachteten Stelle:

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} r}}={\frac {\omega ^{2}r}{g}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f96fc98533ce7f16d67edb0d0c62887dc91f20f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:19.033ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} r}}={\frac {\omega ^{2}r}{g}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Im homogenen <a href="Schwerefeld" title="Schwerefeld">Schwerefeld</a> (<i>g</i>=konst.) ergibt sich die Kurve zu

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z(r)={\frac {\omega ^{2}r^{2}}{2g}}+z_{b}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/373ffd78f8eb8c887d620ae822293cca6a47e024.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.343ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle z(r)={\frac {\omega ^{2}r^{2}}{2g}}+z_{b}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>wo die <a href="Integrationskonstante" class="mw-redirect" title="Integrationskonstante">Integrationskonstante</a> <i>z</i><sub>b</sub> die Höhe im Tiefpunkt bei <i>r</i>=0 ist. Bemerkenswert ist, dass die Form des Paraboloids von der Art der Flüssigkeit unabhängig ist, weil in der letzten Gleichung keine Stoffgrößen vorkommen.

</p><p>Die Steighöhe <i>z</i><sub>a</sub> ergibt sich aus der Tatsache, dass ein <a href="Zylinder_(Geometrie)" title="Zylinder (Geometrie)">Zylinder</a> durch ein eingeschriebenes <a href="Rotationsparaboloid" class="mw-redirect" title="Rotationsparaboloid">Rotationsparaboloid</a> zweiter Ordnung in zwei Teile mit identischem Volumen zerlegt wird. Die Füllhöhe <i>z</i><sub>0</sub> im nicht rotierenden Zylinder befindet sich daher mittig zwischen <i>z</i><sub>a</sub> und dem Tiefpunkt <i>z</i><sub>b</sub>. Andererseits ergibt sich die Differenz <i>z</i><sub>a</sub> − <i>z</i><sub>b</sub> aus der Rotationskurve:<sup id="cite_ref-19" class="reference"><a href="#cite_note-19"><span class="cite-bracket">[</span>2.9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{0}={\frac {z_{a}+z_{b}}{2}}\;,\quad z_{a}-z_{b}=z(R)-z(0)={\frac {\omega ^{2}}{2g}}R^{2}\quad \rightarrow \quad z_{a,b}=z_{0}\pm {\frac {\omega ^{2}R^{2}}{4g}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/254c6fb291723899115c467ee8a08ecda718b495.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:73.903ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle z_{0}={\frac {z_{a}+z_{b}}{2}}\;,\quad z_{a}-z_{b}=z(R)-z(0)={\frac {\omega ^{2}}{2g}}R^{2}\quad \rightarrow \quad z_{a,b}=z_{0}\pm {\frac {\omega ^{2}R^{2}}{4g}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Technische_Anwendung_der_Druck-Fortpflanzung">Technische Anwendung der Druck-Fortpflanzung</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Fluidstatik#Pascalsches_Druckfortpflanzungsgesetz" title="Fluidstatik">Fluidstatik#Pascalsches Druckfortpflanzungsgesetz</a></i></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Statischer_Auftrieb">Statischer Auftrieb</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Fluidstatik#Archimedisches_Prinzip" title="Fluidstatik">Fluidstatik#Archimedisches Prinzip</a>, <a href="Statischer_Auftrieb" title="Statischer Auftrieb">Statischer Auftrieb</a> und <a href="Archimedisches_Prinzip" title="Archimedisches Prinzip">Archimedisches Prinzip</a></i></div>

<p>Wird ein Körper in eine Flüssigkeit gebracht, so ist der <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a> an der Unterseite höher als an der Oberseite. Die resultierende Kraft weist nach oben und heißt Auftrieb. Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. Ist die durchschnittliche <a href="Dichte" title="Dichte">Dichte</a> eines Körpers kleiner als die der Flüssigkeit, so überwiegt die Auftriebskraft gegenüber der Gewichtskraft. Wirken dann nicht noch andere Kräfte auf ihn ein, steigt der Körper nach oben und schwimmt. Ist seine Dichte hingegen größer als die Flüssigkeit, sinkt der Körper nach unten, bei gleicher Dichte schwebt er.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hydraulik">Hydraulik</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Hydraulik" title="Hydraulik">Hydraulik</a></i></div>

<p>Hydraulische Systeme nutzen die Unabhängigkeit des <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Drucks</a> von der Gefäßform aus. Wird beispielsweise <a href="Wasser" title="Wasser">Wasser</a> durch ein Rohr mit relativ kleinem Querschnitt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{1}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{1}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bf84e7fd4fb8259a9b37f956afdf83ee2a020f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{1}}" loading="lazy"></span> wie im Bild in ein Gefäß mit großen Querschnitt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{2}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{2}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{2}}" loading="lazy"></span> gedrückt, so entsteht der Druck <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p={\tfrac {F_{1}}{S_{1}}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p={\tfrac {F_{1}}{S_{1}}}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2295f93bc99ae1b5f29c99115942d8a6acee1166.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; margin-left: -0.089ex; width:7.082ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle p={\tfrac {F_{1}}{S_{1}}}}" loading="lazy"></span> im Wasser. Dieser Druck pflanzt sich nach dem <a href="Fluidstatik#Pascalsches_Druckfortpflanzungsgesetz" title="Fluidstatik">Pascalschen Druckfortpflanzungsgesetz</a> in das Gefäß fort und wirkt dort auf der gesamten Querschnittsfläche <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{2}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{2}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{2}}" loading="lazy"></span>. Darauf wird vom Wasser die resultierende Kraft <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2}=p\cdot S_{2}={\tfrac {S_{2}}{S_{1}}}F_{1}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2}=p\cdot S_{2}={\tfrac {S_{2}}{S_{1}}}F_{1}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5227b398e3735a6d8ac2195e9b9f7028ed491616.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:19.298ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle F_{2}=p\cdot S_{2}={\tfrac {S_{2}}{S_{1}}}F_{1}}" loading="lazy"></span> ausgeübt, die ein Vielfaches der Kraft <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/100c7fbf174fe8b06eacc2a6b0bb2e1badd1c7ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{1}}" loading="lazy"></span> ist.<sup id="cite_ref-20" class="reference"><a href="#cite_note-20"><span class="cite-bracket">[</span>2.10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Das hydraulische System ist eine

</p>

<p>« machine […] pour multiplier les forces »

</p>

</blockquote>

<p>„Maschine um Kräfte zu multiplizieren“

</p>

</blockquote></div><div class="cite" style="margin:-1em 0 1em 1em;">– <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261921330">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .Person{font-variant:small-caps}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><span class="Person h-card"><a href="Blaise_Pascal" title="Blaise Pascal">Blaise Pascal</a> (1653)</span>: <cite style="font-style:normal"><sup id="cite_ref-21" class="reference"><a href="#cite_note-21"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></cite></div></div>

<p>Anwendung findet dieses Prinzip z. B. in der <a href="Hydraulische_Presse" title="Hydraulische Presse">hydraulischen Presse</a>. Deren <a href="Wirkungsgrad" title="Wirkungsgrad">Wirkungsgrad</a> wird nur durch die Reibung in den Kolbendichtungen geschmälert. <a href="Viskosit%C3%A4t" title="Viskosität">Viskosität</a> der Flüssigkeit hat auf das Kraftverhältnis keinen Einfluss, da im Endzustand statische Bedingungen herrschen.<sup id="cite_ref-22" class="reference"><a href="#cite_note-22"><span class="cite-bracket">[</span>2.11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wikibooks"></span></span></div><b><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Physik/_Hydrostatik" class="extiw external" title="b:Formelsammlung Physik/ Hydrostatik">Wikibooks: Formelsammlung Hydrostatik</a></b> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<ul><li><cite style="font-style:italic">hydrostatische Grundgleichung</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Lexikon der Geographie</cite>. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2001 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/lexikon/geographie/hydrostatische-grundgleichung/3644">spektrum.de</a> [abgerufen am 3. April 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Hydrostatik&rft.atitle=hydrostatische+Grundgleichung&rft.btitle=Lexikon+der+Geographie&rft.date=2001&rft.genre=book&rft.place=Heidelberg&rft.pub=Spektrum+Akademischer+Verlag" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li><span class="mw-cite-backlink">↑ </span> <span class="reference-text">F. Durst: <cite style="font-style:italic">Grundlagen der Strömungsmechanik</cite>. Springer, 2006, ISBN 3-540-31323-0.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Hydrostatik&rft.au=F.+Durst&rft.btitle=Grundlagen+der+Str%C3%B6mungsmechanik&rft.date=2006&rft.genre=book&rft.isbn=3540313230&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></span>

</li>

</li>

</li>

</li>

</ol></li>

<li><span class="mw-cite-backlink">↑ </span> <span class="reference-text">H. Sigloch: <cite style="font-style:italic">Technische Fluidmechanik</cite>. Springer Vieweg, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-54291-6, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>31</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-54292-3">10.1007/978-3-642-54292-3</a></span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=GbAfBAAAQBAJ&pg=PA31#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche [abgerufen am 17. März 2020]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Hydrostatik&rft.au=H.+Sigloch&rft.btitle=Technische+Fluidmechanik&rft.date=2014&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-54292-3&rft.genre=book&rft.isbn=9783642542916&rft.pages=31&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer+Vieweg" style="display:none"> </span></span>

</li>

</li>

</li>

</li>

</li>

</li>

</li>

</li>

</li>

</li>

</li>

</ol></li>

<li><span class="mw-cite-backlink">↑ </span> <span class="reference-text">H. Oertel (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Prandtl-Führer durch die Strömungslehre</cite>. Grundlagen und Phänomene. 13. Auflage. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Hydrostatik&rft.btitle=Prandtl-F%C3%BChrer+durch+die+Str%C3%B6mungslehre&rft.date=2012&rft.edition=13&rft.genre=book&rft.isbn=9783834819185&rft.pub=Springer+Vieweg" style="display:none"> </span></span>

</li>

</li>

</ol></li>

<li id="cite_note-spurk-15"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-spurk_15-0">↑</a></span> <span class="reference-text">J. H. Spurk: <cite style="font-style:italic">Strömungslehre</cite>. Einführung in die Theorie der Strömungen. 8. überarbeitete Auflage. Springer Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2010, ISBN 978-3-642-13142-4, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>164</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-13143-1">10.1007/978-3-642-13143-1</a></span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=VTimBwAAQBAJ&pg=PA138#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche [abgerufen am 25. März 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Hydrostatik&rft.au=J.+H.+Spurk&rft.btitle=Str%C3%B6mungslehre&rft.date=2010&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-13143-1&rft.edition=8.+%C3%BCberarbeitete+Auflage&rft.genre=book&rft.isbn=9783642131424&rft.pages=164&rft.place=Heidelberg%2C+Dordrecht%2C+London%2C+New+York&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-21"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-21">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Blaise_Pascal" title="Blaise Pascal">Blaise Pascal</a>: <cite class="lang" lang="fr" dir="auto" style="font-style:italic">Abhandlung über das Gleichgewicht von Flüssigkeiten und vom Gewicht der Masse der Luft</cite>. Paris 1663, Chapitre II. Pourquoi les Liqueurs pesent suivant leur hauteur, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>6</span> (französisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/bub_gb_F8UPAAAAQAAJ">archive.org</a> [abgerufen am 19. Februar 2022] Originaltitel: <cite style="font-style:italic">Traitez de l'équilibre des liqueurs et de la pesanteur de la masse de l'air</cite>. Posthume zweite Veröffentlichung.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Hydrostatik&rft.atitle=Chapitre+II.+Pourquoi+les+Liqueurs+pesent+suivant+leur+hauteur&rft.au=Blaise+Pascal&rft.btitle=Abhandlung+%C3%BCber+das+Gleichgewicht+von+Fl%C3%BCssigkeiten+und+vom+Gewicht+der+Masse+der+Luft&rft.date=1663&rft.genre=bookitem&rft.pages=6&rft.place=Paris" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Dionysius_Lardner" title="Dionysius Lardner">Dionysius Lardner</a>: <i>Handbuch der Hydrostatik und Pneumatik.</i> Druck und Verlag von Gottfried Basse, Quedlinburg und Leipzig 1836.</li>

<li>Abel Bürja: <i>Grundlehren der Hydrostatik.</i> Bei Lagarde und Friedrich, Berlin 1790.</li>

<li>Bruno Eck: <i>Technische Strömungslehre.</i> Springer Verlag Berlin Heidelberg GmbH, Berlin Heidelberg 1949.</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

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</body></html>